НОГИН Владимир Дмитриевич

Профессор кафедры теории управления факультета прикладной математики-процессов управления СПбГУ, доктор физ.-мат. наук (1996), ветеран труда,  действительный член Международной Академии Наук Высшей Школы (1999), член  диссертационного совета Д-212.232.50 при СПбГУ, Соросовский профессор (1999, 2000). Награжден вместе с группой сотрудников Ленинградского политехнического института премией первой степени Госкомитета СССР по народному образованию за лучшую научную работу (1988), лауреат премии СПбГУ "За педагогическое мастерство" в 2009 г., имеет гранты РФФИ и фонда Дж. Сороса. Член международного сообщества Multiple Criteria Decision Making и Европейской рабочей группы Multiple Criteria Decision Aiding. Член редакционной коллегии журнала "Искусственный интеллект и принятие решений" (РАН) из списка ВАК, а также международного журнала International Journal of Decision Support Systems.

Является автором свыше 150 научных и методических трудов.

1. Теория устойчивости движения (общий курс для студентов 2 курса). Учебное пособие.
2. Список вопросов по курсу теории устойчивости.
3. Оптимальный выбор в многокритериальной среде (элективный курс для магистров)
4. Множество и принцип Парето (курс для бакалавров и магистров)

Сфера научных интересов лежит в области теоретических, алгоритмических и прикладных вопросов теории принятия решений при наличии нескольких критериев.

В течение второй половины 70-х и первой половины 80-х годов XX века было введено понятие r-оптимальности, получен ряд необходимых и достаточных условий оптимальности, теорем существования, а также построена конструкция двойственных задач многоцеловего программирования. Выявлены определенные топологические свойства множества Парето. В конце 80-х годов была сформулирована до сих пор не решенная проблема в теории размерности частично упорядоченных множеств.

Последние три десятилетия научные исследования в основном связаны с решением проблемы сужения множества Парето, которая имеет актуальное практическое значение. В начале нового тысячелетия придана аксиоматическая форма знаменитому принципу Эджворта-Парето, согласно которому наилучшие решения следует выбирать среди парето-оптимальных. Оказалось, что этот принцип справедлив для достаточно широкого класса задач, но за его пределами применение этого принципа рискованно или же вообще недопустимо. Для того, чтобы сузить множество Парето и, тем самым, облегчить последующий выбор, необходимо располагать какой-то дополнительной информацией о решаемой задаче. С этой целью наряду с векторным критерием и множеством допустимых решений (которые обычно известны в реальных задачах), рассматривается отношение предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР), относительно которого имеются лишь частичные сведения. Задача с указанными выше тремя объектами было предложено именовать задачей многокритериального выбора. Информацию о том, что ЛПР из двух векторов, каждый из которых хотя бы по одной компоненте больше другого, выбирает один вектор и не выбирает второй, предложено называть квантом информации об отношении предпочтения ЛПР. Наличие подобного кванта свидетельствует о готовности ЛПР идти на определенный компромисс, т.е. уступать по некоторым критериям, ради получения выигрыша по другим (более важным) критериям, и приводит к сокращению множества парето-оптимальных векторов на один элемент. Если же принять определенные четыре аксиомы разумного выбора, то можно рассчитывать на значительно большее сокращение. Выяснилось, что учет кванта информации можно осуществлять следующим образом: по определенным формулам пересчитать исходный векторный критерий и найти множество Парето относительного нового критерия. Именно это множество и будет являться сужением исходного множества Парето. При этом степерь сужения в общем случае будет зависеть как от вида используемого кванта (степени компромисса ЛПР), так и от множества допустимых векторов вместе с исходным векторным критерием. На еще большую степень сужения множества Парето можно рассчитывать, используя не один, а сразу несколько квантов информации об отношении предпочтения ЛПР. Получен целый ряд теорем, на основании которых можно осуществлять указанное сужение. Кроме того, исследованы "предельные" возможности использования произвольного конечного набора квантов. Оказалось, что при определенных дополнительных ограничениях за счет использования указанной информации можно с любой степенью точности приблизиться к множеству недоминируемых (относительно исходного отношения предпочтения) векторов. Сказанное составило содержание аксиоматического подхода к сужению множества Парето, который в последнее время успешно переносится на случай нечеткого отношения предпочтения.

Ряд работ посвящено обсуждению вопросов преподавания математики в техническом вузе и, в частности, необходимости изменения содержания, формы и стиля преподавания в связи с появлением и развитием новейших компьютерных средств.

• IX International Conference on MCDM, Washington D.C., USA (1990)
• XV International Conference on MCDM, Ankara, Turkey (2000)
• 52nd Meeting of the European Working Group on MCDA, Vilnius, Lithuania (2000)
• 11 IFAC International Workshop "Control Applications of Optimization theory", St. Petersburg (2000)
• Workshop "Decision Theory and Optimization in Theory and Practice", Kloster Banz, Germany (2001)
• XVI International Winter Conference on MCDM, Semmering, Austria (2002)
• 58th Meeting of the European Working Group on MCDA, Москва (2003)
• Международная научная конференция "Ителлектуализация обработки информации-2006", Алушта, Крым (2006)
• Российско-финская летняя школа "Динамические игры и многокритериальная оптимизация", Петрозаводск, Россия (2006)
• V Московская международная конференция по исследованию операций, Москва (2007)
• Advanced in Decision Technology and Intelligent Information Systems, Germany (2008-2010)
• Multiple Criteria Decision Making, Finland (2011)
• VII Московская конференция по исследованию операций (ORM2013) (2013)
• «Устойчивость и процессы управления", СПб, СПбГУ (2015)
• Исследование операций (ORM2016), Москва, 17-22 jоктября 2016 (2016)
• "Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы", Международная конференция памяти В.Ф. Демьянова, СПб (2017)
• Исследование операций (ORM2018), Москва, 2018 (2020)

1. Грант фонда Дж. Сороса (1997) на поездку в Центральный Европейский Университет (г. Будапешт, Венгрия) с целью повышения квалификации.
2. Грант РФФИ (1998-2000) «Принятие решений в многокритериальной среде на основе количественной информации об относительной важности критериев».
3. Грант РФФИ (2001-2003) «Принятие решений на основе количественной информации об относительной важности критериев».
4. Грант РФФИ (2001) на издание монографии.
5. Грант Президента РФ (2003-2005) по линии научной школы «Теория и методы принятия решений».
6. Грант РФФИ (2005-2007) «Принятие решений при многих критериях на основе нечеткой информации об относительной важности критериев».
7. Грант РФФИ (2008-2010) «Методы сужения множества Парето на основе набора информации об отношении предпочтения».
8. Грант РФФИ (2011-2013) "Вычислительные методы сужения множества Парето".
9. Грант РФФИ (2014-2016) "Комбинированные методы сужения множества Парето"
10. Грант РФФИ (2014-2016) "Модели и методы наукометрического анализа научных социальных сетей в программных системах информационного обеспечения научной деятельности"
11. Грант РФФИ (2015) на издание монографии "Сужение множества Парето: аксиоматический подход" (изд-во ФИЗМАТЛИТ)
12. Грант РФФИ (2017-2019) "Комбинированные методы выбора в нечеткой многокритериальной среде"
13. Грант РФФИ (2017-2019) "Методы интеллектуальной обработки, классификации и использования изображений на мобильных устройствах для защиты от угроз"
14. Грант РФФИ (2019-2021) "Многокритериальный выбор на основе нечеткой информации типа 2"

1. Noghin V.D. Reduction of the Pareto set: an axiomatic approach. Springer Inc., 2018. 1-232.
2. Ногин В.Д. Сужение множества Парето: аксиоматический подход. ФИЗМАТЛИТ, 2016. 272 c.
3. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. ФИЗМАТЛИТ, 2007.
4. Ногин В.Д. Принятиие решений в многокритериальной среде. ФИЗМАТЛИТ, 2005.
5. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 176 с.
6. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 255 с.

1. Ногин В.Д. Множество и принцип Парето. СПб, Издательско-полиграфическая ассоциация ВУЗов, 2020. 1-100.
2. Ногин В.Д. Лекции по теории устойчивости движений. СПб, Издательско-полиграфическая ассоциация ВУЗов, 2020. 1-154.
3. Ногин В.Д. Введение в оптимальное управление. СПб: Изд-во "Ютас", 2008. 92 с.
4. Ногин В.Д. Принятие решений при многих критериях (учебно-методическое пособие). СПб: Изд-во "Ютас", 2007. 104 с.
5. Ногин В.Д. Методы оптимальных решений. Изд-во "Ютас", 2006. 108 С.
6. Коллектив авторов (включая Ногина В.Д.) Теория систем и системный анализ в управлении организациями (под ред. В.Н. Волковой и А.А. Емельянова). М.: Финансы и статистика, 2006. 848 с.
7. Коллектив авторов (включая Ногина В.Д.) Системный анализ и принятие решений. Словарь-справочник (под общей ред. В.Н. Волковой и В.Н. Козлова). М.: Высшая школа, 2004. 616 с.
8. Барыкин С.Е., Косматов Э.М., Ногин В.Д. Инвестиционный менеджмент. Формирование оптимального портфеля реальных проектов. СПб, СПбГТУ, 2001. 71с.
9. Барыкин С.Е., Косматов Э.М., Ногин В.Д. Инвестиционный менеджмент. Применение метода анализа иерархий для отбора инвестиционных проектов. СПб, СПбГТУ, 2001. 66 с.
10. Барыкин Е.Е., Воропаева Ю.А., Долгов П.П., Косматов Э.М., Ногин В.Д. Многокритериальность и неопределенность в задачах планирования экономической деятельности предприятий. СПб, СПбГТУ, 1998. 40 с.
11. Ногин В.Д., Чистяков С.В. Применение линейной алгебры в принятии решений. СПб, СПбГТУ, 1998. 40 с.
12. Ногин В.Д. Введение в математический анализ. СПб, СПбГТУ, 1994. 68 с.
13. Ногин В.Д. Элементы теории оптимизации и математической экономики. Л., ЛПИ, 1988. 96 с.
14. Ногин В.Д. и др. Основы теории оптимизации. М.: Высшая школа, 1986. 384 с.

Поэзия, фотография, авиамоделизм. Фотоработы можно найти  здесь. Видео ролики можно посмотреть на сайте YouTube , а также Vimeo.

1. Ногин В.Д. Новый способ сужения области компромиссов// Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1976, № 5, с. 10-14.
2. Ногин В.Д. Двойственность в многоцелевом программировании// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1977, № 1, с. 254-258.
3. Ногин В.Д. Связь задачи выбора оптимальных решений с задачей многоцелевой оптимизации. - В сб. "Сложные системы управления", Киев, 1977, с. 22-31.
4. Ногин В.Д. Взаимосвязь различных видов решений задачи многоцелевого программирования// Вестник ЛГУ, сер.: математика, механика, астрономия,1977, № 19.
5. Ногин В.Д. Критерии существования решений в конечномерной задаче многоцелевого программирования// Вестник ЛГУ, сер.: математика, механика, астрономия, 1980, № 7, с. 27-32.
6. Ногин В.Д., Хрисанов Н.И. Оценка развития с/х и промышленного производства в бассейне водосбора с учетом выноса биогенных и загрязняющих веществ. - В сб. "Рациональное использование природных условий и перераспределение водных ресурсов", Л., 1982, с. 66-71.
7. Ногин В.Д. Необходимые условия оптимальности для дискретных многокритериальных задач с конечными множествами управлений. - В сб. "Математические методы исследования управляемых динамических систем", Л., ЛГУ, 1982, с. 145-150.
8. Ногин В.Д. Эффективные и собственно эффективные решения многокритериальных задач. - В сб. "Методы многоцелевой оптимизации", Владивосток,1982, с. 59-72.
9. Ногин В.Д. Критериальная размерность задач векторной оптимизации. - В сб. "Модели и методы оптимизации", М., ВНИИСИ, 1990, вып. 7, с. 55-60.
10. Барыкин Е.Е., Воропаева Ю.А., Косматов Э.М., Ногин В.Д., Харитонова Н.Е. Оптимизация годовой производственной программы энергетического объединения//Электрические станции, 1991, № 4, с. 9-13.
11. Noghin V.D. Estimation of the set of nondominated solutions// Numerical Functional Analysis and Optimization, 1991, v.5&6, № 12, pp. 507-515.
12. Noghin V.D. Upper estimate for a fuzzy set of nondominated solutions// Fuzzy Sets and Systems, 1994, v. 67, pp. 303-315.
13. Барыкин Е.Е., Воропаева Ю.А., Косматов Э.М., Ногин В.Д. Принятие решений о величине среднего тарифа на электроэнергию в условиях неоднозначности исходной информации// Электрические станции, 1994, № 12, с. 2-7.
14. Noghin V.D. Problem 214// Discrete Mathematics, 1994, v. 135, pp. 394.
15. Noghin V.D. Relative importance of criteria: a quantitative approach// Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 1997, v. 6, pp. 355-363.
16. Ногин В.Д. Определение и общие свойства относительной важности критериев. - В тр. XXIX научн. конф. ПМ-ПУ СПбГУ "Процессы управления и устойчивость", СПб, СПбГУ, 1998, с. 373-381.
17. Ногин В.Д. Одно свойство точек Парето алгебраической суммы множеств// Вестник СПбГУ, сер.: математика, механика, астрономия, 1999, вып. 3(№ 15), с. 102-103.
18. Ногин В.Д. Заметки о математике на рубеже веков // Научно-технические ведомости СПбГТУ, 2000, № 1, с. 20-23.
19. Ногин В.Д. Использование количественной информации об относительной важности критериев в принятии решений// Научно-технические ведомости СПбГТУ, 2000, № 2, с. 89-94.
20. Максимов Ю.Д., Ногин В.Д., Хватов Ю.А. Кафедра высшей математики СПбГТУ - вчера, сегодня, завтра// Научно-технические ведомости СПбГТУ", 2000, № 2, с. 94-98.
21. Ногин В.Д. Теоремы о полноте в теории относительной важности критериев// Вестник СПбГУ, сер.: математика, механика, астрономия, 2000, вып. 4 (№ 25), с. 13-18.
22. Ногин В.Д., Толстых И.В. Использование набора количественной информации об относительной важности критериев в процессе принятии решений// Журнал вычислительной математики и математической физики, 2000, т. 40, © 11, с. 1593-1601.
23. Noghin V.D. Relative importance of criteria in a case of fuzzy preference relation. - In Proc. Intern. Conference on Soft Computing and Measurements, St. Petersburg, 2001, v.1, pp. 155-158.
24. Noghin V.D. What is the relative importance of criteria and how to use it in MCDM. - Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer, 2001, v. 507, pp. 59-68.
25. Ногин В.Д. Математика в техническом вузе: проблемы и перспективы. - В тр. VII Академических Чтений "Образование и наука: проблемы и перспективы развития", СПб, 2001, с. 253-261.
26. Ногин В.Д. Логическое обоснование принципа Эджворта-Парето// Журнал вычислительной математики и математической физики, 2002, т. 42, № 7, с. 950-956.
27. Ногин В.Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важность критериев в случае нечеткого отношения предпочтения// Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003, т. 43, № 11, с. 1676-1686.
28. Ногин В.Д. Василий Васильевич Леонтьев - Нобелевский лауреат в области экономики// Научно-техн. ведомости СПбГТУ, 2003, № 1, с. 203-212.
29. Кесаманлы Ф.П., Ногин В.Д. Леонид Витальевич Канторович - Нобелевский лауреат в области экономики// Научно-техн. ведомости СПбГТУ, 2003, № 1, с. 213-222.
30. Ногин В.Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев// ЖВМиМФ, 2004, т. 44, № 7, С. 1259-1268.
31. Ногин В.Д. Математика должна прочно стоять на земле и головой уходить в облака // Санкт-Петербургский университет, 2004, № 26, С. 9-13.
32. Ногин В.Д. Границы применимости распространенных методов скаляризации при решении задач многокритериального выбора// Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2004, С. 59-68.
33. Ногин В.Д. Обобщенный принцип Эджворта-Парето в терминах функций выбора // Методы поддержки принятия решений: Сб. трудов ИСА РАН / Под ред. С.В. Емельянова, А. Б. Петровского. — М.: Едиториал УРСС, 2005.— С. 43.53.
34. Ногин В.Д. Обобщенный принцип Эджворта-Парето и границы его применимости // Экономика и математические методы, 2005, том. 41, № 3, стр. 128-134.
35. Ногин В.Д. Принцип Эджворта-Парето в терминах нечеткой функции выбора\ Журнал вычислительной математики и математической физики, 2006, т. 46, № 4, С. 582-591.
36. Ногин В.Д., Волкова Н.А. Эволюция принципа Эджворта-Парето\ Таврический вестник информатики и математики, 2006, № 1, С. 23-33.
37. Noghin V.D. The Edgeworth-Pareto Principle in Decision Making. Tutorial Presentation for the Russian-Finnish Graduate School Seminar "Dynamic Games and Multicriteria Optimization", Petrozavodsk (Russia), 2006.
38. Noghin V.D. An Axiomatization of the Generalized Edgeworth-Pareto Principle in Terms of Choice Functions. "Mathematical Social Sciences", 2006, v. 52, No 2, pp. 210-216.
39. Климова О.Н., Ногин В.Д. Учет взаимно зависимой информации об относительной важности критериев в процессе принятия решений // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2006, т. 46, # 12, С. 2179-2191.
40. Ногин В.Д. Проблема сужения множества Парето и подходы к ее решению, 2007, ВЦ РАН, Москва. [Презентация]
41. Богданова А.В., Ногин В.Д. Сужение множества Парето на основе простейших наборов нечёткой информации об относительной важности критериев // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: "Прикладная математика. Информатика. Процессы управления". 2007, вып. 2, С. 3-17.
42. Ногин В.Д. Проблема сужения множества Парето: подходы к решению // "Искусственный интеллект и принятие решений". 2008, № 1, С. 98-112.
43. Ногин В.Д. Сужение множества Парето на основе информации о предпочтениях ЛПР точечно-множественного типа // "Искусственный интеллект и принятие решений", 2009, No.1, С. 98-109.
44. Ногин В.Д. Сужение множества Парето на основе информации о предпочтениях ЛПР множественно-точечного типа // "Искусственный интеллект и принятие решений", 2010, No.2, С. 54-63.
45. Noghin V.D., Prasolov A.V. The quantitative analysis of trade policy: a strategy in global competitive conflict// Int. J. Business Continuity and Risk Management, Vol. 2, No. 2, 2011, P. 167-182.
46. Ногин В.Д., Басков О.В.  Сужение множества Парето на основе учёта произвольного конечного набора числовой информации об отношении предпочтения // Доклады АН, 2011, т. 438, № 4, С. 1-4.
47. Ногин В.Д. Алгоритм сужения множества Парето на основе произвольного конечного набора "квантов" информации//"Искусственный интеллект и принятие решений", 2013, No.1, С. 63-69.
48. Ногин В..Д. Аксиоматический подход к сужению множества Парето: вычислительные аспекты//International Journal "Information Theories&Applications"//2013, Vol.20, No. 4,P.352-359.
49. Ногин В.Д., Прасолов А.В. Многокритериальная оценка оптимальной величины импортной пошлины//Труды ин-та Системного Анализа РАН, 2013, Т. 63, Вып. 2, С. 34-44.
50. Ногин В.Д. Аксиоматический подход к сужению множества Парето: вычислительные аспекты// Intern. Journal "Information, Theories and Applications" 2013, vol. 20, № 4, P. 352-359.
51. Noghin V.D. Axiomatic approach to reduce the Pareto set: computational aspects. - В тр. VII Московской конференции по исследованию операций (ORM2013), М., С.58-60.
52. Ногин В.Д. Границы применимости аксиоматического подхода к сужению множества Парето // Intern. Journal "Information, Theories and Applications", 2014, vol. 21, № 3, С. 275-282.
53. Ногин В.Д. Линейная свертка в многокритериальной оптимизации // "Искусственный интеллект и принятие решений", 2014, № 4, С. 73-82.
54. Ногин В.Д. Принятие решений - это поиск компромисса //Научая ассоциация ученых, IV(9), 2015 , С 30-33.
55. Ногин В.Д. Расслоение конечного множества Парето // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук, 2015, № 12, часть 1, С. 28-30.
56. Ногин В.Д.  Границы применимости линейной свертки критериев в многокритериальной оптимизации. - В матер. III международной конференции «Устойчивость и процессы управления», 2015, СПб, Изд.-во СПбГУ, С. 319-320.
57. Ногин В.Д.  Обобщенный принцип Эджворта-Парето // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015,  т. 55, № 12, с. 2015–2021.
58. Ногин В.Д., Романько И.Д. Бинарные отношения на мультимножестве. - «Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире».- Материалы  XIII  междун. научно-практ. конф., Информационный научно-издательский центр «Стратегия будущего», СПб.  2016. Т1, С. 153-157.
59. Noghin V.D. Composed methods to reduce the Pareto set. - Proc. VIII Moscow Intern. Conf. on Operations Research, Moscow, 2016, pp.79-81.
60. Ногин В.Д. Комбинированный подход к сужению множества Парето с использованием линейной и мультипликативной сверток критериев // Искусственный интеллект и принятие решений, 2016, № 2, С. 70-77.
61. Ногин В.Д. Сужение множества Парето на основе аксиоматического подхода с применением некоторых метрик // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2017, т. 57, № 4, с. 645–653.
62. Ногин В.Д. Предельные возможности сужения множества Парето на основе квантов нечеткой информации // Искусственный интеллект и принятие решений, 2017, № 4, С. 69-77.
63. Ногин В.Д. Многокритериальный выбор на нечетком множестве как задача поиска компромисса // Искусственный интеллект и принятие решений, 2018, № 3, С. 91-99.
64.  Ногин В.Д. Многокритериальный выбор на основе нечеткой информации // Искусственный интеллект и принятие решений, 2019, № 2, С. 50-61.
65. Noghin V.D. Multicriteria Choice on a Fuzzy Set as a Problem of Searching for Compromise  // Scientific and Technical Information Processing, 2019, Vol. 46, No. 6, pp. 397–403.
66. Басков О.В., Ногин В.Д. Принцип Эджворта-Парето в случае нечеткого отношения предпочтения второго порядка // Искусственный интеллект и принятие решений, 2020, № 2, С. 51-21.c
67. Noghin V.D. A new characterization of proper efficient points. Презентация на IV межд. конф. конференции "Stability and Control Processes Conference", 2020.
    
    
    

1. Численное построение множества Парето в задаче об импортной пошлине (Васильева Юлия Валерьевна, 2014)

2. Многокритериальная оптимизация цепи сети поставок (Котрелева Яна Юрьевна, дипломная работа, 2015)

3. Упрощенный вариант метода анализа иерархий в условиях нечетких данных (Соколов Владимир Николаевич, магистерская диссертация, 2016)

4. Бикритериальная задача оптимизации пропускной способности железнодорожной сети (Шкорова Кристина Игоревна, магистерская диссертация, 2017)

В данной выпускной квалификационной магистерской работе исследуется двухкритериальная задача оптимизации пропускной способности железнодорожной сети. В этой задаче критерии и ограничения являются линейными. Цель состоит в максимизации пропускной способности движения как грузовых (первый критерий), так и пассажирских (второй критерий) поездов. Решение задачи основано на использовании принципа Эджворта-Парето в предположении выполнения «аксиом разумного выбора». На основе определенных результатов выпуклого анализа предложен алгоритм построения множества парето-оптимальных векторов. Рассмотрен некоторый участок железнодорожной сети России и для него найдено и визуализировано множество Парето. Для выбора из множества Парето окончательного варианта используются кванты информации об отношении предпочтения Лица, Принимающего Решение, и различные способы скаляризации - метод линейной свертки, целевое программирование с метрикой Чебышева, а также с евклидовой метрикой. This final qualification masters work deals with the bicriteria optimization problem for the capacity of railway network. In this problem, the criteria and constraints are linear. The goal is to maximize traffic capacity as freight (the first criterion) and passenger (second criterion) trains. The solution of the problem is based on the Edgeworth-Pareto principle under some assumptions of "reasonable choice". On the basis of certain results of convex analysis, an algorithm for constructing a set of Pareto-optimal vectors is proposed. A certain section of the Russian railway network is considered, the Pareto set is found and visualized. To select the final variant from the Pareto set, quanta of information about the preference relation of the Decision Maker and various methods of scalarization are applied: the linear scalarization method, goal programming with the Chebyshev metric, and also with the Euclidean metric.

5. Исследование множества Парето в многокритериальной задаче размещения центров обслуживания (Гирдюк Дмитрий Викторович, бакалаврская работа, 2017)

В данной работе предлагается новый вариант постановки двухкритериальной задачи размещения центров обслуживания. разработана модификация одного метода построения точного множества Парето в задачах двухкритериальной дискретной оптимизации.  роме того, описан алгоритм сужени€ множества ѕарето и выбора <<наилучшего>> варианта размещения. Все описанные алгоритмы программно реализованы в среде Matlab. Результаты работы были использованы при решении прикладной задачи размещения филиалов спортивной школы в г.Витебске. In this paper, we propose a new version of bicriteria problem for optimal service centers location. A modification of one method of computing the exact Pareto set in bicriteria discrete optimization problems is developed. In addition, we describe the algorithm for reducing the Pareto set and selecting the "best" placement variant. All described algorithms are implemented in the Matlab environment. The results of the work were used to solve the applied problem of locating branches of the sports school in Vitebsk, Belarus.

6. Многокритериальная задача оптимизации торговли на фондовой бирже (Кириллов Артем Дмитриевич, бакалаврская работа, 2019)